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Métodos de Krylov para la solución de Sistemas Lineales



El tema del Algebra Lineal siempre tiene algo de trabajoso, en este post quiero compartir un poco de información sobre los métodos de Krylov, una alternativa de solución para sistemas lineales. En el Algebra Lineal, se tiene dos tipos de problemas principales: Ax = b y Ax = λx o Ax = λBx, además de un nuevo problema de funciones de matrices y = f(A)x. Esos problemas ya son atendidos por métodos directos o métodos iterativos del Algebra Lineal, sin embargo, para cuando se procesan volúmenes grandes de datos, soluciones directas o iterativas pueden tornarse no viables, siendo los métodos de Krylov una alternativa.



Los métodos directos enfrentan problemas generales y que son tratables computacionalmente, un ejemplo es el método de eliminación Gaussiana com pivotamiento parcial, entre otros. Sin embargo, cuando los problemas no son tratables computacionalmente son usados los métodos iterativos, como por ejemplo, los métodos de Jacobi, Gauss-Seidel, entre otros.

Los métodos de Krylov solucionan sistemas lineales partiendo de una aproximación inicial r0 := b – Ax0, la cual es llamada error residual o residuo. Despúes tenemos que aplicar la operación de multiplicación sucesiva de A por r0 hasta que uno de esos vectores obtenidos resulte una combinación lineal de las dos anteriores, o sea, la solución exacta menos la aproximación lineal es una combinación lineal del residuo inicial y de las multiplicaciones de potencias de la matriz A.

Así, se tienen algunas definiciones importantes como espacio de Krylov, que es el conjunto formado por todas las combinaciones lineales de los vectores, y el sub-espacio de Krylov, que es el conjunto formado por todas las combinaciones lineales de k vectores. De esa manera, se tiene como regla general, en aritmética finita, que las secuencias de Krylov no son buenas bases para sub-espacios de Krylov.

Entonces, los métodos de sub-espacio de Krylov forman una base ortogonal de secuencias del residuo inicial y de multiplicaciones de potencias de la matriz A por el residuo. Una aproximación en la solución de este problema es el método de ortogonalización completa (FOM) y el residuo minimo generalizado (GMRES), ambos basados en la combinación de métodos de Krylov y Arnoldi.

Debido a que estos métodos forman una base, el método debe convergir en N iteraciones, aunque no siempre es así en presencia de error de redondeamiento debiendose truncar la base manteniendo un tamaño fijo máximo de vectores. El problema de convergencia es importante y permitió que en los últimos 20 años fuesen propuestas diferentes alternativas del GMRES para mejorarlo.

Los métodos de Krylov enfrentan el desafío de implementaciones verdaderamente paralelas, así como nuevos métodos y su respectiva teoría. En conclusión, los métodos de Krylov deben ser usados solamente cuando los métodos directos no sean viables.

Pueden encontrar el documento también en Portugues. A gente pode encontrar o documento também no Português AQUI.

Saludos!



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